Geometri İspatları Serisi'nin 19. bölümünde üçgende açıortay konusuna giriş yapıyoruz. Bu videoda Neşat Hoca, bir açıyı iki eşit parçaya ayıran açıortayın üçgenin kenarlarıyla kurduğu ilişkileri ve açıortay teoremi ispatı üzerinden bu ilişkilerin neden doğru olduğunu anlatıyor. TYT ve AYT geometriye hazırlanan lise öğrencileri, açıortay bağıntılarını ezberlemek yerine mantığıyla öğrenmek için bu derse güvenle başlayabilir.
Açıortay Nedir, Temel Özelliği Nedir?
Açıortay, bir açıyı iki eş açıya bölen ışındır. Üçgende ise bir köşedeki açıyı ikiye bölen ve karşı kenara kadar uzanan doğru parçasına iç açıortay denir. Açıortayın en temel özelliği şudur: açıortay üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. Bu özellik eş üçgenlerle kolayca ispatlanır ve açıortay konusundaki pek çok sonucun çıkış noktasıdır. Tersi de doğrudur; bir açının kollarına eşit uzaklıktaki noktalar o açının açıortayı üzerindedir.
İç Açıortay Teoremi ve Açıortay Teoremi İspatı
ABC üçgeninde A açısının iç açıortayı BC kenarını D noktasında kessin. İç açıortay teoremine göre:
- BD / DC = AB / AC, yani BD / DC = c / b
Bu bağıntının farklı yollardan ispatı yapılabilir:
- Alan yöntemi: ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden BC'ye inen yükseklikleri ortaktır, bu yüzden alanlarının oranı BD / DC'dir. Öte yandan D noktası AB ve AC kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan aynı alanların oranı c / b'ye de eşittir. İki oran eşitlenince teorem elde edilir.
- Paralellik yöntemi: C noktasından AD'ye paralel bir doğru çizilip BA'nın uzantısıyla kesiştirildiğinde ikizkenar bir üçgen oluşur. Ardından temel orantı (Thales) teoremi uygulanarak aynı sonuca ulaşılır.
Oran ve Orantının Açıortaydaki Rolü
Açıortay teoremi, üçgende oran orantı düşüncesinin en güzel örneklerinden biridir. Kenar uzunlukları bilindiğinde açıortayın karşı kenarı hangi oranda böldüğü hemen bulunur; tersine, kenar üzerindeki parçalar biliniyorsa bilinmeyen kenar hesaplanabilir. Örneğin c = 6 ve b = 9 ise BD / DC = 2 / 3 olur. Bu tür bir oran, sınavlarda çoğu zaman başka bir teoremle birlikte kullanılacak ilk adımdır.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Açıortayın tanımı ve kollara eşit uzaklık özelliği
- İç açıortay teoreminin ifadesi
- Alan ve paralellik yöntemleriyle iki farklı ispat
- Açıortay bağıntısının soru çözümünde nasıl kullanıldığı
- Serinin ikinci kısmına hazırlık olarak temel kavramlar
Sıkça Sorulan Sorular
İç açıortay teoremi ne söyler?
Bir üçgende bir köşeden çizilen iç açıortay, karşı kenarı o köşeye komşu kenarların uzunlukları oranında böler. ABC üçgeninde A'dan çizilen açıortay için BD / DC = AB / AC eşitliği geçerlidir.
Açıortay teoremi en kolay nasıl ispatlanır?
En pratik yol alan yöntemidir. Açıortayın ayırdığı iki üçgenin alanları hem tabanlar oranında hem de komşu kenarlar oranında yazılır; iki ifade eşitlendiğinde teorem doğrudan ortaya çıkar.
Açıortay üzerindeki nokta neden kenarlara eşit uzaklıktadır?
Noktadan açının kollarına dikmeler çizildiğinde oluşan iki dik üçgen, ortak hipotenüs ve eşit açılar sayesinde eştir. Bu nedenle dikmelerin uzunlukları da eşittir.
Açıortay konusunun devamı, uzunluk bağıntıları ve dış açıortayla birlikte serinin 20. bölümünde anlatılıyor. Önceki bölümlerde Thales, Stewart ve Menelaus teoremlerinin ispatlarına da göz atabilirsiniz. Kanala abone olmayı unutmayın; geometri özel dersi için Neşat Hoca ile iletişime geçebilirsiniz.