Geometri İspatları Serisi'nin 16. bölümünde üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki en kullanışlı bağıntılardan biri olan Stewart teoremini inceliyoruz. Neşat Hoca bu derste formülü vermekle yetinmiyor; stewart teoremi ispatı ile bağıntının hangi geometrik düşüncelere dayandığını gösteriyor. TYT ve AYT geometriye hazırlanan lise öğrencileri için, uzunluk sorularında elini güçlendirecek bir ders.
Stewart Teoremi Neyi Hesaplar?
ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarı üzerindeki bir D noktasına doğru parçası çizilsin. Kenarlar a = BC, b = CA, c = AB; parçalar m = BD, n = DC ve çizilen doğru parçası d = AD olsun. Stewart teoremi bu altı uzunluk arasında şu ilişkiyi kurar:
- b²·m + c²·n = a·(d² + m·n)
Böylece kenarlar ve D noktasının konumu biliniyorsa AD uzunluğu, açı bilgisine ihtiyaç duymadan hesaplanabilir. Formülü akılda tutmak için her kenarın karesinin, karşısındaki değil kendisinden uzak olan parçayla çarpıldığına dikkat etmek yeterlidir.
Stewart Teoremi İspatı Nasıl Yapılır?
İspatın temel fikri, D noktasında oluşan iki komşu açının bütünler olmasıdır. ADB ve ADC açılarının toplamı 180° olduğundan kosinüsleri birbirinin ters işaretlisidir. ABD üçgeninde c² için, ADC üçgeninde b² için kosinüs teoremi yazılır. Bu iki eşitlikte kosinüslü terim yok edilecek şekilde birinci eşitlik n ile, ikincisi m ile çarpılıp taraf tarafa toplanır. Düzenleme yapıldığında doğrudan Stewart bağıntısı ortaya çıkar. Aynı sonuca A köşesinden BC'ye bir yükseklik indirip Pisagor teoremini iki kez uygulayarak da ulaşmak mümkündür; bu yol, kosinüs teoremini henüz görmemiş öğrenciler için iyi bir alternatiftir.
Stewart Teoreminin Önemli Sonuçları
Stewart teoremi pek çok özel bağıntının da kaynağıdır:
- Kenarortay uzunluğu: D orta nokta ise m = n = a/2 alınarak 4·Va² = 2b² + 2c² − a² elde edilir.
- Açıortay uzunluğu: D açıortay ayağı ise teorem, iç açıortay uzunluğunun karesinin b·c − m·n olduğunu verir.
- İkizkenar üçgen: b = c ise AD² = b² − m·n bağıntısı kolayca bulunur.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Stewart teoreminin ifadesi ve formülü
- Kosinüs teoremi yardımıyla ispat
- Yükseklik ve Pisagor ile alternatif ispat
- Kenarortay ve açıortay uzunluklarının teoremden türetilmesi
- Uzunluk sorularında teoremin pratik kullanımı
Sıkça Sorulan Sorular
Stewart teoremi formülü nedir?
Kenarları a, b, c olan üçgende A'dan BC üzerindeki D noktasına çizilen d uzunluklu doğru parçası için, BD = m ve DC = n olmak üzere b²·m + c²·n = a·(d² + m·n) bağıntısı geçerlidir.
Stewart teoremi ile kenarortay formülü arasındaki ilişki nedir?
Kenarortay formülü, Stewart teoreminin D noktasının kenarın orta noktası olduğu özel durumudur. m ve n yerine a/2 yazıldığında kenarortay bağıntısı doğrudan elde edilir.
Stewart teoremi hangi sınavda kullanılır?
Ağırlıklı olarak AYT geometride işe yarar. Ancak kenarortay ve açıortay uzunluğu gibi TYT'de de görülen bağıntıları tek çatı altında topladığı için iki sınavda da faydalıdır.
Stewart teoreminin ispatında kullanılan kosinüs teoremini serinin 15. bölümünde ayrıntılı olarak bulabilirsiniz. 17. bölümde ise Menelaus teoremiyle devam ediyoruz. Kanala abone olmayı unutmayın; geometri özel dersi için Neşat Hoca ile iletişime geçebilirsiniz.