Geometri İspatları Serisi'nin 13. bölümünde üçgenlerin en simetrik olanını, eşkenar üçgeni inceliyoruz. Neşat Hoca bu derste eşkenar üçgen özelliklerini tek tek listelemek yerine her birinin nereden geldiğini ve birbirleriyle nasıl bağlantılı olduğunu ispatlarıyla gösteriyor. LGS'den TYT ve AYT'ye kadar hemen her sınavda karşımıza çıkan bu konu, lise öğrencilerinin mutlaka sağlam öğrenmesi gereken temel başlıklardan biri.
Eşkenar Üçgende Kenarlar ve Açılar
Eşkenar üçgen, üç kenarı da birbirine eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşit olduğundan üç iç açı da eşittir ve her biri 180° / 3 = 60° olur. Tersi de doğrudur: üç açısı eşit olan bir üçgen eşkenardır. Ayrıca bir açısı 60° olan ikizkenar üçgenin de eşkenar olduğu gösterilebilir; bu sonuç, sorularda gizli eşkenar üçgenleri fark etmek için çok işe yarar.
Yükseklik, Kenarortay ve Açıortay İlişkisi
Eşkenar üçgende herhangi bir köşeden çizilen yükseklik, aynı zamanda kenarortay, açıortay ve karşı kenarın orta dikmesidir. Bunun ispatı eş üçgenlere dayanır: köşeden karşı kenara indirilen dikme, üçgeni iki eş dik üçgene böler. Bu nedenle ayak noktası kenarın orta noktasıdır ve köşedeki 60° açı iki 30° açıya ayrılır. Ortaya çıkan 30-60-90 dik üçgenlerinde Pisagor teoremi uygulanarak şu bağıntılar elde edilir:
- Yükseklik: h = a·√3 / 2
- Alan: A = a²·√3 / 4
Eşkenar Üçgenin Merkezleri ve Diğer Bağıntılar
Yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru üzerinde olduğu için eşkenar üçgende ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi, çevrel çemberin merkezi ve diklik merkezi aynı noktadır. Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böldüğünden:
- İç teğet çemberin yarıçapı r = h / 3
- Çevrel çemberin yarıçapı R = 2h / 3, yani R = 2r
Eşkenar üçgenle ilgili bilinen bir başka güzel sonuç da şudur: üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, üçgenin yüksekliğine eşittir. Bu bağıntı, üçgeni o noktadan üç parçaya ayırıp alanları toplayarak kolayca ispatlanır.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Eşkenar üçgende kenar ve açı eşitliklerinin ispatı
- Yüksekliğin aynı zamanda kenarortay ve açıortay olması
- Yükseklik ve alan formüllerinin türetilmesi
- Eşkenar üçgenin merkezlerinin çakışması
- Eşkenar üçgenin bağıntılarını birbirine bağlayan mantık
Sıkça Sorulan Sorular
Eşkenar üçgende yükseklik nasıl bulunur?
Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende yükseklik, a·√3 / 2 formülüyle bulunur. Bu formül, yüksekliğin üçgeni ayırdığı 30-60-90 dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak elde edilir.
Eşkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır?
Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban a ve yükseklik a·√3 / 2 alındığında alan a²·√3 / 4 olarak bulunur.
Bir açısı 60° olan her üçgen eşkenar mıdır?
Hayır. Bir açısı 60° olan üçgenin eşkenar olması için ayrıca ikizkenar olması gerekir. Bir açısı 60° olan ikizkenar üçgen ise her durumda eşkenardır.
Bir önceki bölümde ikizkenar üçgenin özelliklerini, 11. bölümde ise özel açılı dik üçgenleri ele almıştık; bu üç ders birlikte izlendiğinde konu bütünlüklü hale gelir. Serinin devamı için kanala abone olabilir, özel ders için Neşat Hoca ile iletişime geçebilirsiniz.