Geometri İspatları Serisi'nin 12. bölümünde, geometri sorularında belki de en sık karşılaşılan özel üçgen olan ikizkenar üçgeni ele alıyoruz. Neşat Hoca bu derste ikizkenar üçgen özelliklerini eşit kenarlar, taban açıları, açıortay, kenarortay ve yükseklik başlıkları altında inceliyor ve her birinin neden doğru olduğunu ispatlarla gösteriyor. LGS'den çıkıp liseye başlayan öğrenciler ve TYT-AYT'ye hazırlananlar için temel bir ders.
İkizkenar Üçgen ve Taban Açıları
İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Eşit kenarların birleştiği köşeye tepe, üçüncü kenara ise taban adı verilir. İkizkenar üçgenin en temel özelliği şudur: eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir. Bu özellik, tepe açısının açıortayı çizilerek ve oluşan iki üçgenin kenar-açı-kenar eşliği gösterilerek ispatlanır. Tersi de doğrudur; iki açısı eşit olan üçgende bu açıların karşısındaki kenarlar da eşittir. Böylece bir soruda eşit açılar görüldüğünde eşit kenarlar, eşit kenarlar görüldüğünde eşit açılar aranabilir.
Tepe Köşesinden Çizilen Yardımcı Elemanlar
İkizkenar üçgende tepe köşesinden tabana çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır. Üstelik bu doğru parçası tabanın orta dikmesi üzerindedir. İspat yine eşliğe dayanır: tepe köşesinden çizilen açıortay üçgeni iki eş üçgene ayırır, bu yüzden tabanı iki eşit parçaya böler ve tabana dik olur. Bu sonuçtan şu pratik bilgiler çıkar:
- Taban üzerindeki dikme ayağı tabanın orta noktasıdır.
- Tepe açısı yükseklik tarafından iki eş açıya bölünür.
- Tabana ait yükseklik, Pisagor teoremiyle eşit kenar ve tabanın yarısı kullanılarak bulunur.
İkizkenar Üçgenle İlgili Diğer Bağıntılar
İkizkenar üçgenin simetrisi başka eşitlikler de doğurur. Eşit kenarlara ait yükseklikler birbirine eşittir; eşit kenarlara ait kenarortaylar ve taban açılarından çizilen açıortaylar da birbirine eşittir. Ayrıca taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. Bu son bağıntı, üçgen o noktadan iki parçaya ayrılıp alanlar toplanarak ispatlanır ve sınavlarda kısa çözümler sağlar. Neşat Hoca'nın vurguladığı gibi, bir soruda ikizkenar üçgen fark edildiği anda tepe köşesinden tabana bir dikme çizmek çoğu zaman çözümün ilk ve en etkili adımıdır.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Taban açılarının eşitliği ve tersinin ispatı
- Tepe köşesinden çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortayın çakışması
- Tabana ait yüksekliğin Pisagor ile hesaplanması
- Eşit kenarlara ait yükseklik ve kenarortayların eşitliği
- Taban üzerindeki noktadan çizilen dikmelerin toplamı
Sıkça Sorulan Sorular
İkizkenar üçgende taban açıları neden eşittir?
Tepe açısının açıortayı çizildiğinde ortaya çıkan iki üçgende iki kenar ve aradaki açı eşittir. Bu iki üçgen eş olduğundan karşılıklı açıları, yani taban açıları da eşit olur.
İkizkenar üçgende yükseklik nasıl bulunur?
Tepe köşesinden tabana inen yükseklik tabanı ortaladığı için, eşit kenar hipotenüs ve tabanın yarısı dik kenar olacak şekilde Pisagor teoremi uygulanır.
Eşkenar üçgen bir ikizkenar üçgen midir?
Evet. Eşkenar üçgenin herhangi iki kenarı eşit olduğundan ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini taşır; üstelik bu özellikler her köşe için geçerlidir.
İkizkenar üçgen konusunun doğal devamı olan eşkenar üçgen özellikleri serinin 13. bölümünde anlatılıyor. Bir önceki bölümde ise özel açılı dik üçgenleri incelemiştik. Kanala abone olarak seriyi takip edebilir, özel ders için Neşat Hoca ile iletişime geçebilirsiniz.