Geometri İspatları Serisi'nin 20. bölümünde Neşat Hoca, açıortay teoremleri konusuna kaldığı yerden devam ediyor. İlk kısımda kurulan temel oran bağıntısının üzerine bu derste açıortayın oluşturduğu uzunluk ilişkileri, kenar oranları ve bu özelliklerin birbirine nasıl bağlandığı ispat yaklaşımıyla ele alınıyor. Ders, TYT ve AYT geometriye hazırlanan lise öğrencileri için olduğu kadar, formüllerin nereden geldiğini merak eden herkes için de faydalı bir tekrar niteliğinde.
Açıortay Teoremleri Neden Tek Bir Mantıktan Doğar?
Öğrencilerin çoğu açıortay konusunu birbirinden kopuk formüller listesi olarak ezberler. Oysa bu bağıntıların hepsi birkaç temel düşünceye dayanır: açıortay üzerindeki her noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olması, aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanlarının tabanlarıyla orantılı olması ve benzerlik. Bu derste amaç, her yeni bağıntının önceki sonuçlardan nasıl türetildiğini görmek ve konuyu ortak bir geometrik mantığın sonuçları olarak kavramaktır.
Açıortay Uzunluk Bağıntıları
ABC üçgeninde kenarlar a, b, c ve A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında x = BD ve y = DC parçalarına ayırsın. İlk kısımdan bildiğimiz iç açıortay teoremine göre x / y = c / b olur. Buradan şu sonuçlara ulaşılır:
- Parçaların uzunlukları: x = a·c / (b + c) ve y = a·b / (b + c).
- İç açıortay uzunluğu için bilinen bağıntı: AD² = b·c − x·y.
- Dış açıortay BC doğrusunu E noktasında kesiyorsa EB / EC = c / b olur ve dış açıortay uzunluğu için AE² = EB·EC − b·c bağıntısı geçerlidir.
Bu bağıntılar ezberlenmek yerine benzer üçgenler, çevrel çember ve kuvvet düşüncesiyle ispatlandığında hem akılda kalıcı hem de soru çözümünde esnek bir araç haline gelir.
İç ve Dış Açıortay Arasındaki İlişkiler
Bir köşedeki iç açıortay ile dış açıortay her zaman birbirine diktir, çünkü iç açının yarısı ile dış açının yarısının toplamı 90° eder. Bu basit gözlem, açıortay sorularında sıkça karşılaşılan dik üçgenleri fark etmeyi sağlar. Ayrıca açıortayların kesişim noktalarıyla ilgili açı bağıntıları da aynı mantığın devamıdır: iki iç açıortayın kesiştiği noktada oluşan açı 90° + A/2, iki dış açıortayın kesiştiği noktada oluşan açı ise 90° − A/2 olarak bulunur.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Açıortayın kenar üzerinde ayırdığı parçaların kenar uzunlukları cinsinden ifadesi
- İç ve dış açıortay uzunluk bağıntılarının mantığı
- Kenar oranları ile uzunluk bağıntıları arasındaki bağlantı
- İç ve dış açıortayın dikliği ve kesişim açıları
- Açıortay sorularında hangi bağıntının ne zaman kullanılacağı
Sıkça Sorulan Sorular
Açıortay uzunluğu formülü nedir?
A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını x ve y parçalarına ayırıyorsa iç açıortay uzunluğunun karesi b·c − x·y ifadesine eşittir. Yani iki kenarın çarpımından, karşı kenarda oluşan parçaların çarpımı çıkarılır.
Açıortay teoremleri TYT'de mi AYT'de mi çıkar?
Temel iç açıortay oranı TYT geometride de karşımıza çıkar; uzunluk bağıntıları ve dış açıortay ile ilgili daha ileri sorular ise ağırlıklı olarak AYT geometride sorulur.
İç açıortay ile dış açıortay neden diktir?
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180° olduğundan, bunların yarılarının toplamı 90° olur. Bu yüzden aynı köşeden çizilen iç ve dış açıortaylar arasındaki açı her zaman dik açıdır.
Bu dersi izlemeden önce serinin 19. bölümü olan Açıortay Teoremleri 1. Kısım videosunu izlemenizi öneririz; Stewart, Menelaus ve Ceva teoremlerinin ispatları da serinin önceki bölümlerinde sizi bekliyor. Yeni bölümlerden haberdar olmak için kanala abone olabilir, TYT-AYT geometri özel dersi için Neşat Hoca ile iletişime geçebilirsiniz.