Bu video, Geometrik Kavramlar bölümünün 3. parçasının tekrar ve pekiştirme amaçlı yüklenmiş halidir. Burada konuyu bu kez geometrik kavramlar sayma soruları açısından ele alıyoruz: Verilen noktalardan kaç doğru geçer, verilen doğrular en çok kaç noktada kesişir, doğrular düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır? Neşat Hoca'nın anlattığı kavramları bu soru tipleriyle birleştirdiğinizde konu çok daha kalıcı hale gelir. Bu yazı, özellikle TYT geometriye hazırlanan ve kombinasyon mantığını geometride kullanmak isteyen lise öğrencileri için hazırlandı.
Noktalardan Geçen Doğru Sayısı
Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer. Buradan hareketle, herhangi üçü doğrusal olmayan n noktadan geçen doğru sayısı, n nokta arasından 2 nokta seçme sayısına eşittir: C(n, 2) = n(n − 1) / 2. Örneğin herhangi üçü doğrusal olmayan 5 noktadan 10 doğru geçer.
Noktaların bir kısmı doğrusal ise hesap değişir. n noktanın k tanesi aynı doğru üzerindeyse, bu k noktanın kendi aralarında oluşturacağı C(k, 2) doğru aslında tek bir doğrudur. Bu yüzden doğru sayısı C(n, 2) − C(k, 2) + 1 olur.
Geometrik Kavramlar Sayma Soruları: Kesişim Noktaları
Düzlemde n farklı doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir. Bunun için hiçbir iki doğrunun paralel olmaması ve hiçbir üç doğrunun aynı noktadan geçmemesi gerekir. Paralel doğrular varsa, aralarında kesişim olmayacağından bu çiftler toplamdan çıkarılır.
- 3 doğru en çok 3 noktada kesişir.
- 4 doğru en çok 6 noktada kesişir.
- n doğru en çok n(n − 1) / 2 noktada kesişir.
Doğruların Düzlemi Ayırdığı Bölge Sayısı
Bir doğru düzlemi 2 bölgeye ayırır. Her yeni doğru, önceki doğruları farklı noktalarda kestiğinde bölge sayısını en çok kendi sıra numarası kadar artırır. Bu düşünceyle n doğrunun düzlemi en çok n(n + 1) / 2 + 1 bölgeye ayırdığı bulunur. Örneğin 3 doğru düzlemi en çok 7 bölgeye ayırır.
Bu formüllerin hepsi aynı fikre dayanır: geometrik bir nesneyi belirlemek için kaç eleman seçmek gerektiğini düşünmek. Doğru için iki nokta, düzlem için doğrusal olmayan üç nokta gerekir. Örneğin herhangi dördü aynı düzlemde olmayan n noktadan C(n, 3) düzlem geçer. Neşat Hoca'nın yaklaşımıyla formülü değil mantığı öğrendiğinizde, soru biraz değiştirildiğinde bile çözüm yolunu kendiniz kurabilirsiniz.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Noktalardan geçen doğru sayısını kombinasyonla bulmayı
- Doğrusal noktalar varken hesabı düzeltmeyi
- Doğruların en çok kesişim noktası sayısını
- Düzlemin en çok kaç bölgeye ayrılabileceğini
Sıkça Sorulan Sorular
Bu video ile Geometrik Kavramlar 3. bölüm videosu aynı mı?
Evet, aynı dersin farklı zamanlarda yüklenmiş halidir. Bu sayfada konu, sayma soruları ve tekrar odağıyla özetlendi.
Bu sorularda kombinasyon bilmek şart mı?
C(n, 2) = n(n − 1) / 2 formülünü bilmek yeterlidir. Mantığı anladıktan sonra formülü ezberlemeye bile gerek kalmaz.
Üç doğru aynı noktadan geçerse ne olur?
Üç kesişim noktası tek noktada birleşir; bu durumda kesişim sayısı azalır. En çok sorusunda bu durumun olmadığı varsayılır.
Konunun kavramsal kısmı için Geometrik Kavramlar 3. bölümün asıl anlatımına, temel tanımlar için 1. ve 2. bölümlere göz atın. Neşat Hoca'nın güncel Geometri İspatları Serisi'ni de takip edebilir, kanala abone olabilir ve özel ders için iletişime geçebilirsiniz.