Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları bölümünün beşinci dersinde, üçgen eşitsizliğinin daha ileri uygulamalarına geçiyoruz. Bu derste kenarortay eşitsizliği, üçgenin içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklıkları ve dörtgende köşegenlerle ilgili eşitsizlikler ele alınıyor. Bu sonuçların hepsi temel üçgen eşitsizliğinden türetilir; ancak hazır bilindiğinde sınavda ciddi zaman kazandırır. Neşat Hoca bu derste her kuralın hangi yardımcı çizimle elde edildiğini de gösteriyor. Ders, TYT ve AYT geometriye hazırlanan, konuyu derinlemesine öğrenmek isteyen lise öğrencileri için uygundur.
Kenarortay Eşitsizliği
ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu Va, diğer iki kenar b ve c olsun. Bu durumda:
- |b − c| / 2 < Va < (b + c) / 2
Bu eşitsizlik, kenarortayı kendi uzunluğu kadar uzatarak elde edilir. Kenarortay uzatıldığında oluşan yeni nokta ile bir paralelkenar ortaya çıkar ve uzunluğu 2Va olan doğru parçası, kenarları b ve c olan bir üçgenin kenarı olur. Bu üçgende üçgen eşitsizliği yazıldığında |b − c| < 2Va < b + c bulunur; her taraf ikiye bölündüğünde kural elde edilir. Bu yöntem, Neşat Hoca'nın sık kullandığı kenarortay uzatma tekniğinin güzel bir örneğidir.
Üçgenin İçindeki Bir Nokta İçin Eşitsizlikler
P noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde olsun. Bu durumda iki önemli sonuç vardır:
- |PB| + |PC| < |AB| + |AC| olur. Yani içteki noktadan geçen yol, üçgenin kenarları üzerinden giden yoldan kısadır.
- u üçgenin yarı çevresi olmak üzere u < |PA| + |PB| + |PC| < 2u olur.
Alt sınır, PAB, PBC ve PCA üçgenlerinde üçgen eşitsizliği yazılıp toplanarak bulunur. Üst sınır ise ilk maddedeki eşitsizliğin üç köşe için yazılıp toplanmasıyla elde edilir. Bu tür sorularda genellikle |PA| + |PB| + |PC| toplamının alabileceği tam sayı değerleri sorulur.
Dörtgende Köşegenler Toplamı
Benzer bir mantık dışbükey dörtgenler için de geçerlidir. Köşegenleri e ve f, yarı çevresi u olan bir dışbükey dörtgende u < e + f < 2u olur. Köşegenler dörtgeni dört küçük üçgene ayırır; bu üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazılarak alt sınır, köşegenleri kenar kabul eden üçgenlerde yazılarak üst sınır elde edilir. Bu sonuç, dörtgenler konusuna geçtiğinizde de işinize yarayacaktır.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Kenarortay uzunluğunun alabileceği değer aralığı
- Kenarortayı uzatma tekniği
- Üçgenin içindeki nokta için yarı çevre eşitsizliği
- Dışbükey dörtgende köşegenler toplamının sınırları
Sıkça Sorulan Sorular
Kenarortay eşitsizliği nasıl hatırlanır?
Üçgen eşitsizliğindeki |b − c| < a < b + c ifadesinin her tarafını ikiye bölmüş gibi düşünebilirsiniz; kenarortay bu iki sınırın yarıları arasında kalır.
İçteki nokta kenar üzerinde olursa eşitsizlik değişir mi?
Nokta kenar üzerine gelirse bazı üçgenler dejenere olur ve kesin eşitsizlikler eşitliğe dönüşebilir. Bu yüzden kural, noktanın iç bölgede olduğu durum için geçerlidir.
Bu konular TYT'de çıkar mı?
Kenarortay ve iç nokta eşitsizlikleri daha çok zor sorularda ve AYT düzeyinde karşınıza çıkar; temel mantık ise TYT'deki üçgen eşitsizliği sorularıyla aynıdır.
Bölümün son dersinde açı kenar bağıntılarının tamamını kapsayan karma sorular çözülüyor; 6. bölümü kaçırmayın. Ortak kenarlı üçgenler için 4. derse dönebilirsiniz. Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ni takip edin, kanala abone olun ve özel ders için iletişime geçin.