Özel Açılı Dik Üçgenler bölümünün ikinci dersinde Neşat Hoca, ikizkenar dik üçgen olarak da bilinen 45 45 90 üçgeni konusunu ele alıyor. İlk derste öğrenilen 30-60-90 üçgeniyle birlikte bu üçgen, geometri sorularının çok büyük bölümünde anahtar rol oynar. Video, TYT ve AYT geometriye hazırlanan öğrenciler ve özel üçgenleri sağlam öğrenmek isteyen herkes için uygundur.
45 45 90 Üçgeninin Özellikleri
Bir dik üçgende dar açılardan biri 45° ise diğeri de 45° olur. Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşit olduğundan bu üçgen aynı zamanda ikizkenardır. Dik kenarlar a ise Pisagor ile hipotenüs şöyle bulunur: c² = a² + a² = 2a², yani c = a√2.
- Dik kenarlar eşittir: a ve a
- Hipotenüs: a√2
- Kenar oranı: 1 : 1 : √2
Hipotenüs verildiğinde ise dik kenar, hipotenüsün √2'ye bölünmesiyle bulunur. Örneğin hipotenüs 8 ise dik kenarlar 8/√2 = 4√2 olur.
Kare ve Köşegen ile Bağlantı
Bir karenin köşegeni, kareyi iki eş 45-45-90 üçgenine ayırır. Bu yüzden kenarı a olan karenin köşegeni a√2'dir. Tersinden düşünürsek köşegeni d olan karenin kenarı d/√2, alanı ise d²/2 olur. Bu bağlantı, dörtgenler konusunda ve koordinat düzleminde eğimi 1 olan doğrularla ilgili sorularda da sık kullanılır.
Ayrıca 45°'lik bir açının bulunduğu herhangi bir üçgende uygun yerden çizilen bir dikme, şekilde gizli bir ikizkenar dik üçgen ortaya çıkarır. Neşat Hoca bu derste, dikmeyi nereden indirmenin soruyu kolaylaştıracağını fark etmeye yönelik örnekler üzerinde duruyor.
İki Özel Üçgeni Birlikte Kullanmak
Sınav sorularında 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri çoğu zaman aynı şekilde yer alır. Örneğin açıları 45° ve 60° olan bir üçgende üçüncü köşeden çizilen yükseklik, üçgeni bir 45-45-90 ve bir 30-60-90 üçgenine ayırır. Ortak kenar olan yükseklik üzerinden iki üçgenin kenarları birbirine bağlanır ve tüm uzunluklar hesaplanabilir. Bu bölümde bu tarz birleşik şekiller üzerinde de çalışılıyor.
Örneğin böyle bir üçgende yükseklik h ise, 45° tarafındaki parça da h olur; 60° tarafında ise tabandaki parça h/√3, yani h√3/3 olarak bulunur. Bu iki parçanın toplamı tabanı verir. Kenarlardan biri biliniyorsa önce h hesaplanır, sonra diğer tüm uzunluklar sırayla yazılır. Neşat Hoca, bu tarz sorularda işlemleri kök dışına çıkararak sadeleştirmenin hata yapma ihtimalini azalttığını da hatırlatıyor.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- 45-45-90 üçgeninde 1 : 1 : √2 oranını
- Hipotenüsten dik kenara, dik kenardan hipotenüse geçmeyi
- Karenin köşegeni ve alanı arasındaki ilişkiyi
- Uygun dikme ile gizli ikizkenar dik üçgeni bulmayı
- 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerini aynı soruda kullanmayı
Sıkça Sorulan Sorular
45 45 90 üçgeni neden ikizkenardır?
Çünkü iki dar açısı eşittir ve eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir. Bu yüzden dik kenarlar aynı uzunluktadır.
Hipotenüsü verilen ikizkenar dik üçgende alan nasıl bulunur?
Dik kenar c/√2 olduğundan alan (c/√2)·(c/√2)/2 = c²/4 olur. Yani alan, hipotenüsün karesinin dörtte biridir.
Bu üçgen sınavlarda nerelerde çıkar?
Kare ve dikdörtgen sorularında, 135°'lik açı içeren üçgenlerde, çemberde ve analitik geometride sıkça karşımıza çıkar.
Bu ders, Özel Açılı Dik Üçgenler bölümünün 2. parçasıdır. 30-60-90 üçgeni için 1. bölüme, 15-75-90 ve 30-30-120 gibi diğer özel üçgenler için 3. bölüme göz atabilirsiniz. Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'nde bu oranların ispatlarını da bulabilirsiniz. Abone olarak yeni dersleri kaçırmayın; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.