Özel Açılı Dik Üçgenler bölümünün üçüncü dersinde Neşat Hoca, temel iki özel üçgenden türetilen ve sınavlarda öğrencileri en çok şaşırtan yapılara geçiyor: 15 75 90 üçgeni ve 30-30-120 üçgeni. Video açıklamasında da vurgulandığı gibi özel açılı dik üçgenler bol soruyla öğrenilmesi gereken bir konudur; bu bölümde de bu iki yapı üzerinde çok sayıda soru tipi işleniyor. TYT ve AYT geometriye hazırlananlar için önemli bir ders.
15 75 90 Üçgeni ve Altın Kural
Açıları 15°, 75° ve 90° olan dik üçgenin kenar oranları ilk bakışta pratik değildir. Ancak çok kullanışlı bir özelliği vardır: Hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsün dörtte biridir. Yani hipotenüs c ise yükseklik h = c/4 olur.
Bu sonucu görmenin güzel bir yolu, hipotenüse ait kenarortayı çizmektir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına, yani c/2'ye eşittir ve şekilde ikizkenar üçgenler oluşturur. Dış açı özelliğiyle kenarortayın hipotenüsle 30°'lik açı yaptığı görülür. Böylece oluşan küçük 30-60-90 üçgeninde, 30°'nin karşısındaki yükseklik c/2'nin yarısı, yani c/4 olur.
- 15-75-90 üçgeninde h = c/4
- Alan = c·h/2 = c²/8
30-30-120 Üçgeni
Tepe açısı 120°, taban açıları 30° olan ikizkenar üçgen de sınavların gözdesidir. Eş kenarları a ise taban uzunluğu a√3 olur. Bunun nedeni, tepe noktasından tabana indirilen yüksekliğin üçgeni iki eş 30-60-90 üçgenine ayırmasıdır. Her birinde hipotenüs a, yükseklik a/2 ve tabanın yarısı a√3/2 olur.
- Kenar oranı: a : a : a√3
- Tabana ait yükseklik: a/2
- Alan: (a√3 · a/2)/2 = a²√3/4
İlginç biçimde bu alan, kenarı a olan eşkenar üçgenin alanıyla aynıdır. Neşat Hoca bu tür bağlantıları göstererek öğrencinin formülleri birbirinden kopuk değil, bir bütün olarak görmesini sağlıyor.
Bu Üçgenler Sorularda Nasıl Gizlenir?
Sınavlarda 15-75-90 ya da 30-30-120 üçgeni çoğu zaman doğrudan adıyla verilmez. Bir dik üçgende dar açılardan birinin 15° olduğu belirtilir ve alan sorulur; ya da düzgün altıgenin iki komşu kenarı ile bir köşegeni birlikte çizilir ve aslında 30-30-120 üçgeni oluşur. Düzgün altıgende her iç açı 120° olduğu için kenarı a olan altıgenin kısa köşegeni a√3'tür. Bu bölümde, şekilde gizlenmiş bu yapıları fark etmeye yönelik sorular üzerinde duruluyor. Bir kez görmeyi öğrenen öğrenci, uzun işlemlere girmeden sonuca ulaşabiliyor.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- 15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin c/4 olduğunu
- Bu sonucun kenarortay yardımıyla nasıl elde edildiğini
- 30-30-120 üçgeninde a : a : a√3 oranını
- 120°'lik açılı ikizkenar üçgende yükseklik ve alan hesabını
- Temel özel üçgenlerden yeni özel üçgenler türetmeyi
Sıkça Sorulan Sorular
15 75 90 üçgeninde en pratik bilgi nedir?
Hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsün dörtte biri olmasıdır. Bu bilgi alan sorularını tek adımda çözdürür.
30-30-120 üçgeninin tabanı neden a√3'tür?
Tepe noktasından inen yükseklik üçgeni iki 30-60-90 üçgenine böler; her birinde tabanın yarısı a√3/2 olduğundan taban a√3 olur.
Bu üçgenler hangi sorularda çıkar?
Çokgenler, düzgün altıgen, çemberde kiriş ve yay soruları ile alan sorularında sıkça kullanılır.
Bu video, Özel Açılı Dik Üçgenler bölümünün 3. parçasıdır. Temel oranlar için 1. ve 2. bölümleri, geniş açılı üçgenlerde dikme çizme teknikleri için 4. bölümü izleyebilirsiniz. İspat merakı olanlara Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ni öneririz. Kanala abone olun; özel ders için Neşat Hoca ile iletişime geçin.