Bu videoda Neşat Hoca, özel teoremler konusunun ikinci bölümüyle devam ediyor. Bölüm; Menelaus, Ceva, Stewart, Carnot, sinüs ve kosinüs teoremlerinden oluşuyor ve her parça bu teoremlerin anlaşılmasına ve soru çözümünde kullanılmasına katkı sağlıyor. Bu yazıda, oran teoremlerinin ikinci önemli üyesi olan Ceva (bazı kaynaklarda Seva) teoremini ve Menelaus ile arasındaki farkı özetliyoruz. AYT geometriye hazırlanan öğrenciler için önemli bir konu.
Ceva Teoremi
ABC üçgeninde köşelerden karşı kenarlara çizilen AD, BE ve CF doğru parçaları (D, BC üzerinde; E, CA üzerinde; F, AB üzerinde) tek bir P noktasında kesişsin. Bu durumda:
- (AF / FB) · (BD / DC) · (CE / EA) = 1
Formül görünüş olarak Menelaus'a çok benzer; fark, şeklin yapısındadır. Menelaus'ta üçgeni kesen tek bir doğru vardır, Ceva'da ise köşelerden çizilen ve tek noktada kesişen üç doğru parçası bulunur.
Ceva Teoreminin Tersi ve Özel Durumlar
Teoremin tersi de doğrudur: kenarlar üzerindeki D, E, F noktaları için bu çarpım 1'e eşitse AD, BE ve CF doğru parçaları tek noktada kesişir. Bu ters ifade, bazı üçgen noktalarının neden var olduğunu açıklar:
- Kenarortaylar: her oran 1 olduğundan çarpım 1'dir; bu yüzden kenarortaylar ağırlık merkezinde kesişir.
- İç açıortaylar: oranlar b / a, c / b ve a / c olur; çarpımları 1 olduğundan açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
- Yükseklikler: dar açılı üçgende çarpım yine 1 çıkar ve yükseklikler diklik merkezinde kesişir.
Bu örnekler, önceki ve sonraki bölümlerde öğrenilen ağırlık merkezi ve iç teğet çember gibi kavramların Ceva teoremiyle nasıl bağlantılı olduğunu gösterir.
Menelaus mu Ceva mı?
Soruda üç doğru parçası köşelerden çıkıp tek noktada kesişiyorsa Ceva, bir doğru üçgeni bir uçtan diğer uca kesip geçiyorsa Menelaus kullanılır. Çoğu zaman ikisi birlikte kullanılır: Ceva ile kenar üzerindeki oran bulunur, ardından Menelaus ile kesişim noktasının bir doğru parçasını hangi oranda böldüğü hesaplanır. Neşat Hoca'nın anlatımında da bu iki teoremin birbirini tamamlayan araçlar olduğu vurgulanır. Oranları yazarken her iki teoremde de aynı dolaşma kuralının kullanılması, ikisini birlikte öğrenmeyi kolaylaştırır; bir köşeden başlayıp kenar üzerindeki noktaya, oradan bir sonraki köşeye geçmek yeterlidir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Özel teoremler bölümünün oran teoremlerini
- Ceva teoreminin ifadesini ve oran yazma sırasını
- Ceva teoreminin tersini ve kullanım alanını
- Kenarortay ve açıortayların neden tek noktada kesiştiğini
- Menelaus ile Ceva arasında doğru seçimi yapmayı
Sıkça Sorulan Sorular
Ceva ile Seva aynı teorem mi?
Evet. İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'nın adını taşıyan teorem, Türkçe kaynaklarda okunuşuna göre Seva olarak da yazılır.
Ceva teoremi alan ile ispatlanabilir mi?
Evet. Ortak yükseklikli üçgenlerin alan oranlarının taban oranlarına eşit olmasından yararlanarak her oran alan cinsinden yazılır ve çarpımın 1 olduğu gösterilir.
Ceva teoremi hangi sorularda kullanılır?
Köşelerden çizilen üç doğru parçasının tek noktada kesiştiği ve kenarlar üzerindeki parçaların oranlarının sorulduğu sorularda kullanılır.
Özel teoremler serisinin diğer bölümlerinde Stewart, Carnot, sinüs ve kosinüs teoremleri gibi konularla devam ediliyor; serinin tamamını izlemeyi unutmayın. Bu teoremlerin ispatları için Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ne göz atabilirsiniz. Abone olun; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.