Bu video, Neşat Hoca'nın özel teoremler serisinin dördüncü ve en uzun bölümüdür. Açıklamada Neşat Hoca'nın öğrencilerine bu konuyu çok iyi öğrenmeleri yönünde özel bir uyarısı bulunuyor. Bölümün tamamı Menelaus, Ceva, Stewart, Carnot, sinüs ve kosinüs teoremlerinden oluşuyor. Bu yazıda, diğer teoremlerden farklı olarak dikmelerle çalışan Carnot teoremini ve onun Pisagor teoremine dayanan mantığını ele alıyoruz. AYT geometride üst düzey sorulara hazırlanan öğrenciler için faydalı bir içerik.
Carnot Teoremi
ABC üçgeninin düzleminde bir P noktası alınsın ve bu noktadan kenarlara dikmeler indirilsin. Dikme ayakları BC üzerinde D, CA üzerinde E ve AB üzerinde F olsun. Carnot teoremi şunu söyler:
- BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB²
Teoremi hatırlamanın kolay yolu, üçgenin etrafında bir yönde dolaşırken karşılaşılan parçaları bir tarafa, ters yönde dolaşırken karşılaşılan parçaları diğer tarafa yazmaktır. Böylece her kenardan bir parça sol tarafta, diğer parça sağ tarafta yer alır.
Teoremin Pisagor ile İspatı
Carnot teoreminin ispatı yalnızca Pisagor teoremini kullanır ve bu yüzden çok öğreticidir. P noktası ile köşeleri birleştirelim. PDB ve PDC dik üçgenlerinde:
- PB² = PD² + BD² ve PC² = PD² + DC²
- Çıkarıldığında: PB² − PC² = BD² − DC²
Aynı işlem E ve F noktaları için yapıldığında PC² − PA² = CE² − EA² ve PA² − PB² = AF² − FB² elde edilir. Üç eşitlik taraf tarafa toplandığında sol taraf sıfır olur ve Carnot bağıntısı ortaya çıkar. Bu ispat, aslında Carnot'nun sadece Pisagor'un akıllıca bir uygulaması olduğunu gösterir.
Teoremin Tersi ve Uygulamaları
Teoremin tersi de doğrudur: kenarlar üzerindeki D, E, F noktaları bu eşitliği sağlıyorsa bu noktalardan kenarlara çıkılan dikmeler tek bir noktada kesişir. Bu sonuç sayesinde kenar orta dikmelerinin çevrel çemberin merkezinde, yüksekliklerin ise diklik merkezinde kesiştiği farklı bir bakış açısıyla görülebilir.
Soru çözümünde Carnot, bir iç noktadan kenarlara dikmeler indirilmiş ve kenar parçalarının bazıları verilmiş şekillerde eksik parçayı bulmak için kullanılır. Bilinmeyen parçayı x ile gösterip bağıntıya yerleştirmek çoğu zaman tek adımda sonuca götürür. Kenar uzunluklarının bilindiği sorularda ise her kenar üzerindeki iki parçanın toplamının kenar uzunluğuna eşit olduğunu da kullanarak ek denklemler kurabilirsiniz.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Carnot teoreminin ifadesini ve yazım düzenini
- Teoremin yalnızca Pisagor ile nasıl ispatlandığını
- Carnot teoreminin tersini
- Orta dikmeler ve yüksekliklerin kesişimiyle ilişkisini
- Dikmeli sorularda eksik parçayı bulmayı
Sıkça Sorulan Sorular
Carnot teoreminde P noktası üçgenin dışında olabilir mi?
Evet. İspat yalnızca Pisagor teoremine dayandığı için P noktası düzlemin herhangi bir yerinde olabilir; dikme ayakları kenar uzantılarına düşebilir.
Carnot teoremini ezberlemem şart mı?
İspatı çok kısa olduğu için mantığını bilmek yeterlidir. Ancak yazım düzenini bilmek sınavda zaman kazandırır.
Bu teorem hangi sınavda kullanılır?
Carnot teoremi daha çok AYT düzeyinde, dikme içeren uzunluk sorularında kullanılır.
Özel teoremler serisinin 5. bölümünde konu sinüs ve kosinüs teoremleri gibi trigonometrik araçlarla tamamlanıyor; önceki bölümleri de izleyerek bölümü eksiksiz bitirebilirsiniz. Teoremlerin ispatları için Neşat Hoca'nın yeni Geometri İspatları Serisi'ne göz atın. Abone olmayı unutmayın; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.