Neşat Hoca'nın özel teoremler serisinin üçüncü bölümünde, açıklamada belirtildiği gibi çok anlaşılır bir anlatımla konuya devam ediliyor. Bu bölüm serisi Menelaus, Ceva, Stewart, Carnot, sinüs ve kosinüs teoremlerini kapsıyor. Bu yazıda ise bölümün uzunluk hesaplarında en çok işe yarayan teoremi olan Stewart teoremini ve bu teoremin kenarortay ile açıortay formülleriyle bağlantısını özetliyoruz. Konu, AYT geometriye hazırlanan öğrenciler için özellikle değerlidir.
Stewart Teoremi
ABC üçgeninde BC kenarı üzerinde bir D noktası alınsın. AB = c, AC = b, BC = a, BD = m, DC = n (m + n = a) ve AD = x olmak üzere Stewart teoremi şunu söyler:
- b² · m + c² · n = a · (x² + m · n)
Teoremi doğru kullanmanın püf noktası eşleştirmedir: b kenarı (AC), kendisine uzak olan m parçasıyla (BD), c kenarı (AB) ise kendisine uzak olan n parçasıyla (DC) çarpılır. Formülü yazmadan önce bu eşleştirmeyi şekil üzerinde kontrol etmek hataları önler.
Stewart Teoreminin Özel Durumları
Stewart teoremi, daha önce ayrı ayrı öğrenilen birçok formülün ortak kaynağıdır:
- D orta nokta ise (m = n = a / 2) kenarortay formülü elde edilir: Va² = (2b² + 2c² − a²) / 4
- AD açıortay ise (m / n = c / b) iç açıortay uzunluğu elde edilir: x² = b · c − m · n
- Üçgen ikizkenar ise (b = c) bağıntı sadeleşir: x² = b² − m · n
Son sonuç özellikle pratiktir: ikizkenar üçgende tepe köşesinden tabandaki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçasının karesi, yan kenarın karesinden tabandaki iki parçanın çarpımı çıkarılarak bulunur.
Stewart Teoremi Nereden Gelir?
Teorem, ABD ve ADC üçgenlerinde D noktasındaki açılar için kosinüs teoremi yazılarak ispatlanır. D'deki iki açı bütünler olduğu için kosinüsleri zıt işaretlidir; iki eşitlik uygun katsayılarla toplandığında kosinüslü terimler sadeleşir ve Stewart bağıntısı ortaya çıkar. Benzer şekilde A'dan BC'ye bir yükseklik indirilip Pisagor teoremiyle de aynı sonuca ulaşılabilir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Stewart teoreminin ifadesini ve doğru eşleştirmeyi
- Kenarortay formülünün Stewart'tan nasıl çıktığını
- Açıortay uzunluğu bağıntısıyla ilişkisini
- İkizkenar üçgende x² = b² − m · n kısa yolunu
- Teoremin kosinüs teoremiyle ispat fikrini
Sıkça Sorulan Sorular
Stewart teoremini ezberlemenin kolay yolu var mı?
Her kenar, karşısında kalan, yani kendisine uzak olan parçayla çarpılır; sağ tarafta ise tüm kenar, ortadaki doğru parçasının karesi ile iki parçanın çarpımının toplamıyla çarpılır.
D noktası kenarın uzantısında olursa teorem geçerli mi?
Uygun işaret düzenlemesiyle evet, ancak sınav sorularında Stewart teoremi genellikle D'nin kenar üzerinde olduğu durumlarda kullanılır.
Stewart teoremi hangi sınavda çıkar?
Doğrudan Stewart ile çözülen sorular AYT düzeyindedir; ancak teoremin özel hâlleri olan kenarortay ve açıortay formülleri her iki sınavda da işe yarar.
Özel teoremler serisinin diğer bölümlerinde Menelaus, Ceva, Carnot ve trigonometrik teoremlerle devam ediliyor; tüm bölümleri izlemenizi öneririz. Stewart teoreminin ayrıntılı ispatını Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'nde bulabilirsiniz. Kanala abone olun; özel ders talepleriniz için iletişim sayfasını kullanın.