İkizkenar ve Eşkenar Üçgen bölümünün altıncı dersinde Neşat Hoca, eşkenar üçgenin sınavlarda en çok sorulan eşkenar üçgen özellikleri üzerinde duruyor. Bir önceki derste yükseklik ve alan formülleri öğrenilmişti; bu bölümde ise üçgenin içindeki noktalar, ağırlık merkezi ve çemberlerle ilgili sonuçlar ele alınıyor. Video, TYT ve AYT geometriye hazırlanan, özellikle orta ve ileri düzey sorularda zorlanan öğrenciler için hazırlandı.
İç Noktadan Kenarlara Dikmelerin Toplamı
Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir P noktasından üç kenara dikmeler indirildiğinde, bu dikmelerin uzunlukları toplamı noktanın yerinden bağımsız olarak üçgenin yüksekliğine eşittir: x + y + z = h.
Bu özellik de alan yöntemiyle kanıtlanır. P noktası, eşkenar üçgeni üç küçük üçgene ayırır. Her birinin tabanı a, yükseklikleri x, y ve z'dir. Alanlar toplamı (a·x + a·y + a·z)/2 = (a·h)/2 olacağından x + y + z = h bulunur. İkinci bölümde ikizkenar üçgen için görülen dikmeler toplamı özelliğinin, eşkenar üçgende üç kenara genişlemiş hali olarak düşünülebilir.
- Dikmelerden ikisi biliniyorsa ve kenar verilmişse, üçüncü dikme hemen bulunur.
- Dikmeler toplamı verilmişse yükseklik, oradan da kenar ve alan hesaplanır.
Eşkenar Üçgende Ağırlık Merkezi
Eşkenar üçgende her köşeden çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Bu nedenle üç kenarortayın kesişim noktası olan ağırlık merkezi, aynı zamanda iç teğet çemberin ve çevrel çemberin de merkezidir. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler.
Eşkenar Üçgen Özellikleri: İç Teğet ve Çevrel Çember
Ağırlık merkezinin kenarortayı 2 : 1 oranında bölmesinden şu sonuçlar çıkar:
- İç teğet çemberin yarıçapı: r = h/3
- Çevrel çemberin yarıçapı: R = 2h/3
- Dolayısıyla R = 2r
Kenarı a cinsinden yazarsak h = a√3/2 olduğu için r = a√3/6 ve R = a√3/3 olur. Örneğin kenarı 6 olan eşkenar üçgende h = 3√3, r = √3 ve R = 2√3 bulunur. Neşat Hoca bu derste, çember konusuna geçmeden önce bu ilişkileri sağlam kurmanın ileride ne kadar işe yarayacağını vurguluyor.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- İç noktadan kenarlara inen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğunu
- Bu özelliğin alan yöntemiyle ispatını
- Eşkenar üçgende özel noktaların çakıştığını
- Ağırlık merkezinin 2 : 1 bölme kuralını
- İç teğet ve çevrel çember yarıçaplarını
Sıkça Sorulan Sorular
Dikmeler toplamı özelliği her üçgende geçerli mi?
Hayır. Üç kenara inen dikmelerin toplamının sabit olması yalnızca eşkenar üçgene özgüdür; çünkü her küçük üçgenin tabanı aynı uzunluktadır.
Eşkenar üçgende neden R = 2r'dir?
Her iki çemberin merkezi de ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi yüksekliği 2 : 1 böldüğü için köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın iki katıdır.
Bu konular sınavda nasıl sorulur?
Genellikle iç noktadan dikmeler verilip alan ya da kenar istenir; ya da çember ile eşkenar üçgenin birlikte bulunduğu şekillerde yarıçap sorulur.
Bu ders, İkizkenar ve Eşkenar Üçgen bölümünün 6. parçasıdır. Eşkenar üçgenin temel formülleri için 5. bölüme, açı soruları ve karma örnekler için 7. ve 8. bölümlere göz atabilirsiniz. Bu sonuçların ispatlarını Geometri İspatları Serisi'nde bulabilirsiniz. Abone olmayı unutmayın; özel ders için Neşat Hoca'ya ulaşabilirsiniz.