Bu videoda Neşat Hoca, üçgende kenarortay konusunun ikinci bölümüyle devam ediyor. Birinci bölümde kenarortayın tanımı ve ağırlık merkezinin 2:1 oranı öğrenilmişti. Bu bölümde ise konu alan kavramıyla birleştiriliyor; kenarortayın ve ağırlık merkezinin üçgeni hangi oranlarda böldüğü, sınavlarda çok sık sorulan alan sorularıyla pekiştiriliyor. TYT ve AYT geometriye hazırlanan öğrenciler için mutlaka bilinmesi gereken bir konu.
Kenarortay Alanı İkiye Böler
ABC üçgeninde AD kenarortay olsun. ABD ve ADC üçgenlerinin tabanları BD ve DC eşittir; yükseklikleri ise A köşesinden BC'ye inen ortak yüksekliktir. Bu yüzden bu iki üçgenin alanları eşittir. Kısacası her kenarortay, üçgenin alanını iki eş parçaya ayırır.
Bu özellik genelleştirilebilir: tepe noktası ortak ve tabanları aynı doğru üzerinde olan üçgenlerin alanları oranı, tabanlarının oranına eşittir. Kenarortay bu kuralın taban oranı 1:1 olan özel hâlidir.
Ağırlık Merkezi ve Eş Alanlı Bölgeler
Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgen, ağırlık merkezi etrafında altı küçük üçgene ayrılır ve bu altı üçgenin alanları birbirine eşittir. Üçgenin alanına S dersek her bir küçük üçgenin alanı S / 6 olur. Buradan şu sonuçlar çıkar:
- GAB, GBC ve GCA üçgenlerinin her birinin alanı S / 3'tür.
- Ağırlık merkezini bir kenarın iki ucuna birleştiren üçgen, tüm alanın üçte birini kaplar.
- Ağırlık merkezinin bir kenara uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin üçte biridir.
Son madde 2:1 oranının doğrudan sonucudur: GD = AD / 3 olduğundan, G'nin BC'ye uzaklığı da A'nın BC'ye uzaklığının üçte biri olur.
Alan Sorularında Kullanılan Yöntemler
Kenarortaylı alan sorularında genellikle şekil küçük parçalara ayrılır ve her parçanın alanı bir bilinmeyen cinsinden yazılır. Eş tabanlı ve ortak yükseklikli üçgenler fark edildikçe bilinmeyenler eşitlenir. Neşat Hoca'nın anlatımında öne çıkan yaklaşım, alanları doğrudan hesaplamaya çalışmak yerine oranlarla düşünmektir; bu yöntem özellikle birden fazla orta noktanın verildiği karışık şekillerde büyük zaman kazandırır.
Örneğin bir üçgende önce bir kenarortay, ardından oluşan küçük üçgenlerden birinde yeni bir kenarortay çiziliyorsa, her adımda alan yarıya iner. Böylece en küçük parçanın alanı tüm alanın dörtte biri, sekizde biri gibi kesirlerle ifade edilir. Bu zincirleme mantık, alan sorularında sıkça karşılaşılan bir kurgudur ve kenarortayın alanı ikiye bölme özelliğinin doğrudan bir uygulamasıdır.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Kenarortayın üçgenin alanını iki eşit parçaya böldüğünü
- Ağırlık merkezinin üçgeni altı eş alanlı parçaya ayırdığını
- GAB, GBC, GCA üçgenlerinin alanlarının eşitliğini
- Ortak yükseklikli üçgenlerde taban oranı ile alan oranı ilişkisini
- Alan sorularını oranlarla çözme yaklaşımını
Sıkça Sorulan Sorular
Ağırlık merkezinin oluşturduğu altı üçgen eş midir?
Alanları eşittir ama genel olarak eş (aynı şekil ve büyüklükte) değillerdir. Sadece eşkenar üçgende bu altı üçgen birbirine eştir.
Kenarortay her zaman alanı ikiye böler mi?
Evet, her üçgende ve her kenarortay için geçerlidir. Çünkü oluşan iki üçgenin tabanları eşit, yükseklikleri ortaktır.
Bu bilgiler hangi konularda işime yarar?
Üçgende alan, dörtgenler ve çokgenlerde alan sorularının pek çoğu bu oranlara dayanır. Kenarortay alan ilişkisi AYT geometride özellikle sık kullanılır.
Üçgende kenarortay serisinin sonraki bölümlerinde kenarortay uzunluğu formülü ve dik üçgendeki özel durumlar işleniyor; serinin diğer parçalarını da sırasıyla izleyin. Alan bağıntılarının ispatları için Neşat Hoca'nın yeni Geometri İspatları Serisi'ni inceleyebilirsiniz. Kanala abone olun; özel ders için iletişim sayfasından bize ulaşabilirsiniz.