Neşat Hoca'nın üçgende kenarortay anlatımının üçüncü bölümünde konu, uzunluk hesaplarına taşınıyor. Önceki bölümlerde tanım, ağırlık merkezi ve alan ilişkileri ele alınmıştı. Bu bölümde, üç kenarı bilinen bir üçgende kenarortay uzunluğunun nasıl bulunacağı ve bu bağıntının hangi soru tiplerinde kullanıldığı üzerinde çalışılıyor. Konu özellikle AYT geometriye hazırlanan öğrenciler için önemlidir, ancak TYT'de de bu bağıntıyla kısa yoldan çözülen sorular çıkmaktadır.
Kenarortay Uzunluğu Formülü
ABC üçgeninde kenar uzunlukları a = BC, b = AC, c = AB ve A köşesine ait kenarortay Va olsun. Kenarortay teoremi (Apollonius teoremi olarak da bilinir) şunu söyler:
- b² + c² = 2 · Va² + a² / 2
- Buradan: Va² = (2b² + 2c² − a²) / 4
Benzer şekilde Vb² = (2a² + 2c² − b²) / 4 ve Vc² = (2a² + 2b² − c²) / 4 yazılır. Formülü ezberlemenin pratik yolu şudur: kenarortayın ait olduğu kenar eksi işaretli, diğer iki kenar ise iki katıyla artı işaretli yazılır ve sonuç dörde bölünür.
Formül Nereden Gelir?
A köşesinden BC'ye bir yükseklik indirilip iki dik üçgende Pisagor teoremi yazılırsa ya da ABD ve ADC üçgenlerinde kosinüs teoremi uygulanırsa, D noktasındaki açıların kosinüsleri birbirinin ters işaretlisi olduğu için toplama yapıldığında bu terimler sadeleşir ve kenarortay bağıntısı ortaya çıkar. Bu mantığı bilmek, formülü unutsanız bile sınavda yeniden türetebilmenizi sağlar.
Kenarortay Teoremi Hangi Sorularda Kullanılır?
- Üç kenarı verilen üçgende bir kenarortayın uzunluğunu bulma
- İki kenar ve bir kenarortay verildiğinde üçüncü kenarı bulma
- Paralelkenarda köşegenlerle ilgili sorular (paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığı için aynı mantık geçerlidir)
- Ağırlık merkezine olan uzaklıkların hesaplanması: AG = 2Va / 3
Ayrıca üç kenarortayın karelerinin toplamı için de kullanışlı bir sonuç vardır: Va² + Vb² + Vc² = 3 · (a² + b² + c²) / 4.
Hesaplama sorularında işlem kolaylığı için önce kareli ifadeyle çalışmak, karekökü en sonda almak iyi bir alışkanlıktır. Ayrıca formülde hangi kenarın a olduğunu doğru seçmek çok önemlidir: a her zaman kenarortayın ait olduğu, yani ortaladığı kenardır. Bu küçük ayrıntı gözden kaçtığında sonuç tamamen yanlış çıkar. Neşat Hoca bu yüzden formülü kullanmadan önce şekil üzerinde ortalanan kenarı işaretlemeyi önerir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Kenarortay uzunluğu formülünü ve ezberleme yolunu
- Formülün Pisagor ve kosinüs teoremiyle ilişkisini
- Eksik kenarı kenarortay yardımıyla bulmayı
- Kenarortayların karelerinin toplamı bağıntısını
- Ağırlık merkezine uzaklık hesaplarını
Sıkça Sorulan Sorular
Kenarortay formülü her üçgende geçerli mi?
Evet. Va² = (2b² + 2c² − a²) / 4 bağıntısı dar, dik ya da geniş açılı fark etmeksizin tüm üçgenlerde geçerlidir.
Formülü unutursam ne yapmalıyım?
Kenarortayın ayırdığı iki üçgende kosinüs teoremini yazıp taraf tarafa toplayabilirsiniz. Ortak açının kosinüsleri zıt işaretli olduğu için sadeleşir ve formül yeniden elde edilir.
Kenarortay teoremi paralelkenarda nasıl kullanılır?
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar; bu yüzden bir köşegen, oluşan üçgenlerde diğer köşegenin yarısını kenarortay yapar. Buradan paralelkenarın kenar kareleri toplamının köşegen kareleri toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.
Bir sonraki bölümde dik üçgende kenarortayın özel durumlarına geçiliyor; üçgende kenarortay serisinin diğer parçalarını da kaçırmayın. Kenarortay teoreminin ayrıntılı ispatı için Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ni izleyebilirsiniz. Abone olmayı unutmayın; özel ders talepleriniz için iletişim sayfasını kullanabilirsiniz.