Neşat Hoca'nın üçgende kenarortay anlatımının beşinci bölümünde, ağırlık merkezi ve kenarortay uzunluğu bilgileri bir araya getirilerek daha ileri soru tiplerine geçiliyor. Bu bölümün öne çıkan konularından biri, iki kenarortayın birbirine dik olduğu üçgenlerdir. Bu soru tipi ilk bakışta zor görünse de doğru bağıntı bilindiğinde birkaç satırda çözülür. Ders, özellikle AYT geometride üst düzey sorulara hazırlanan öğrencilere hitap ediyor.
Kenarortaylar Dik Kesişirse
ABC üçgeninde B ve C köşelerinden çizilen kenarortaylar ağırlık merkezi G'de dik kesişsin. GB = 2Vb / 3 ve GC = 2Vc / 3 olduğundan, BGC dik üçgeninde Pisagor teoremi yazılırsa:
- GB² + GC² = a²
- (4 / 9) · (Vb² + Vc²) = a²
Kenarortay formülüyle Vb² + Vc² = (4a² + b² + c²) / 4 olduğu yerine yazılınca şu sade sonuç elde edilir:
- b² + c² = 5a²
Yani B ve C köşelerinden çizilen kenarortaylar dikse, bu kenarortayların ait olduğu kenarların kareleri toplamı, üçüncü kenarın karesinin beş katına eşittir.
Dik Kesişmede Muhteşem Üçlüyü Kullanmak
Aynı şekilde BGC bir dik üçgen olduğundan, G'den BC'nin orta noktası D'ye çizilen doğru parçası hipotenüse ait kenarortaydır. Bu nedenle GD = BC / 2 olur. GD aynı zamanda A'dan çizilen kenarortayın üçte biri olduğundan Va = 3 · GD = 3a / 2 sonucuna ulaşılır. Bu, dik kesişme sorularında çok hızlı bir kısa yoldur ve önceki bölümde öğrenilen hipotenüs kenarortayı özelliğinin güzel bir uygulamasıdır.
Ağırlık Merkezi Merkezli Sorular
Bu bölümde ayrıca ağırlık merkezinin parçaları üzerinden kurulan sorulara yer veriliyor. Bu tür sorularda dikkat edilmesi gerekenler:
- Her kenarortayı 1 ve 2 birimlik parçalara ayırarak tek bilinmeyenle çalışmak
- G noktasında oluşan küçük üçgenlerde Pisagor ya da benzerlik aramak
- Gerekirse kenarortayı ağırlık merkezinin ötesine uzatıp yeni bir üçgen oluşturmak
Bu sorularda en sık yapılan hata, kenarortayın tamamı ile ağırlık merkezine kadar olan parçasını karıştırmaktır. Kenarortay uzunluğu formülü tüm kenarortayı verir; ağırlık merkezinin oluşturduğu üçgenlerde ise bu uzunluğun üçte ikisi ya da üçte biri kullanılır. Şekil üzerinde parçaları baştan 2k ve k şeklinde yazmak, bu tür hataları büyük ölçüde önler ve işlemleri sadeleştirir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Kenarortayları dik kesişen üçgenlerde b² + c² = 5a² bağıntısını
- Bağıntının kenarortay formülünden nasıl çıktığını
- Dik kesişmede üçüncü kenarortayın 3a / 2 olduğunu
- Ağırlık merkezi parçalarıyla tek bilinmeyenli çalışmayı
- Kenarortay sorularında Pisagor ve benzerliği birlikte kullanmayı
Sıkça Sorulan Sorular
b² + c² = 5a² bağıntısını ezberlemek yeterli mi?
Ezberlemek hız kazandırır ama hangi kenarların b ve c olduğunu doğru belirlemek şarttır: bunlar dik kesişen kenarortayların ait olduğu kenarlardır, a ise üçüncü kenardır.
Dik kesişen kenarortaylar sorusunda alan nasıl bulunur?
BGC üçgeninin alanı GB · GC / 2 ile bulunur. Ağırlık merkezi alanı üçe böldüğü için ABC üçgeninin alanı bu değerin üç katıdır.
Bu konu TYT'de çıkar mı?
Temel ağırlık merkezi bilgisi TYT'de kullanılabilir; dik kesişen kenarortaylar gibi bağıntılar ise daha çok AYT düzeyindeki sorularda karşınıza çıkar.
Üçgende kenarortay serisinin önceki ve sonraki bölümlerini de izleyerek konuyu eksiksiz tamamlayın. Bu bağıntıların ispatlarını Neşat Hoca'nın yeni Geometri İspatları Serisi'nde bulabilirsiniz. Kanala abone olun; özel ders talepleriniz için iletişim sayfasından Neşat Hoca'ya yazabilirsiniz.