Serinin en uzun videolarından biri olan bu bölümde Neşat Hoca, üçgende kenarortay konusunu benzerlik ve paralellik ile birleştiriyor. Orta noktalar ve paralel doğrular, kenarortay sorularının neredeyse tamamında gizli bir araç olarak karşımıza çıkar. Bu ders, kenarortay sorularında takılan, yardımcı çizimi nereden çizeceğini bilemeyen öğrenciler için özellikle faydalı olacaktır. TYT ve AYT geometri hazırlığında önemli bir yere sahiptir.
Orta Taban Teoremi
Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. ABC üçgeninde D, AB'nin ve E, AC'nin orta noktası ise:
- DE, BC kenarına paraleldir.
- DE = BC / 2 olur.
- ADE üçgeni ile ABC üçgeni 1:2 oranında benzerdir; alanlar oranı ise 1:4'tür.
Tersi de doğrudur: bir kenarın orta noktasından diğer kenara paralel çizilen doğru, üçüncü kenarı da orta noktasından keser. Bu ters ifade, sorularda yeni orta noktalar üretmenin en pratik yoludur.
Üç Orta Taban ve Dört Eş Üçgen
Üç kenarın orta noktaları birleştirildiğinde üçgen, birbirine eş dört küçük üçgene ayrılır. Ortadaki üçgenin çevresi büyük üçgenin çevresinin yarısı, alanı ise dörtte biridir. Bu küçük üçgenin ağırlık merkezi ile büyük üçgenin ağırlık merkezi aynı noktadır; bu bilgi bazı ileri düzey sorularda işe yarar.
Ağırlık Merkezinden Çizilen Paraleller
Ağırlık merkezinden bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı köşeden itibaren 2:1 oranında böler. Örneğin G'den BC'ye paralel çizilen doğru AB ve AC'yi kestiği noktalarla A köşesinden itibaren 2/3 uzaklıkta keser. Oluşan küçük üçgen ABC'ye 2:3 oranında benzerdir ve paralel parçanın uzunluğu 2 · BC / 3 olur.
- Benzerlik oranı 2/3 ise alan oranı 4/9 olur.
- Paralel doğrunun üst kısmında kalan parçalar ile alt kısmında kalan parçalar 2:1 oranındadır.
Yardımcı Çizim Önerileri
Neşat Hoca'nın kenarortay sorularında önerdiği temel yardımcı çizimler şunlardır: bir orta noktadan paralel çizmek, iki orta noktayı birleştirerek orta taban oluşturmak ve gerektiğinde ağırlık merkezinden kenarlara paralel çekmek. Bu üç hamle, karmaşık görünen şekilleri tanıdık benzer üçgenlere dönüştürür. Videonun uzun olmasının sebebi de budur: her yeni soru, bu yardımcı çizimlerden birinin farklı bir şekilde uygulanmasını gösterir ve öğrencinin hangi durumda hangi çizimi seçeceğini sezgisel olarak kavramasını hedefler.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Orta taban teoremini ve tersini
- Orta noktalarla oluşan dört eş üçgeni
- Ağırlık merkezinden çizilen paralelin 2:1 bölme özelliğini
- Benzerlik oranından alan oranına geçmeyi
- Kenarortay sorularında doğru yardımcı çizimi seçmeyi
Sıkça Sorulan Sorular
Orta taban neden üçüncü kenarın yarısıdır?
ADE ve ABC üçgenleri ortak A açısına sahiptir ve kenar oranları 1/2'dir; kenar-açı-kenar benzerliğinden DE de BC'nin yarısı olur ve iki doğru paralel çıkar.
Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişki nedir?
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Oran 1/2 ise alanlar oranı 1/4, oran 2/3 ise 4/9 olur.
Bu bölümü izlemeden önce neyi bilmem gerekir?
Ağırlık merkezinin 2:1 oranını ve temel benzerlik kurallarını bilmeniz yeterlidir; serinin ilk bölümleri bu altyapıyı sağlar.
Üçgende kenarortay serisinin 7. ve 8. bölümlerinde konu yeni soru tipleriyle tamamlanıyor; önceki bölümleri de atlamadan izlemenizi öneririz. Orta taban teoreminin ispatı için Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ne bakabilirsiniz. Abone olmayı unutmayın; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.