Bu derste Neşat Hoca, üçgende kenarortay konusunun dördüncü bölümünde dik üçgenlere odaklanıyor. Dik üçgen, geometri sınavlarının en sevilen şeklidir ve kenarortayla birleştiğinde çok kısa yoldan çözülebilen ama dikkatsiz öğrenciyi uzun hesaplara sürükleyen sorular ortaya çıkar. Bu bölüm, TYT ve AYT geometride dik üçgen ile kenarortay sorularında hız kazanmak isteyen öğrenciler için hazırlandı.
Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay
A açısı dik olan ABC üçgeninde hipotenüs BC'nin orta noktası D olsun. Bu durumda hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir:
- AD = BD = DC = BC / 2
Bu özellik sınav dilinde sık sık muhteşem üçlü olarak anılır. Bunun nedeni, dik üçgenin çevrel çemberinin merkezinin hipotenüsün orta noktası olmasıdır; D noktası A, B ve C'ye eşit uzaklıktadır. Bu eşitlikten iki ikizkenar üçgen (ABD ve ADC) oluşur ve açı soruları da bu ikizkenar üçgenler sayesinde kolayca çözülür.
Muhteşem Üçlünün Tersi
Özelliğin tersi de doğrudur: bir üçgende bir kenara ait kenarortay o kenarın yarısına eşitse, karşı köşedeki açı 90 derecedir. Yani AD = BC / 2 ise A açısı diktir. Bu ters ifade, şekilde dik açı görünmeyen soruların gizli dik üçgenini fark etmenizi sağlar.
Dik Üçgende Kenarortay Bağıntıları
A açısı dik, hipotenüs a olan bir üçgende diğer kenarortaylar da Pisagor teoremiyle hesaplanabilir:
- Vb² = c² + (b / 2)²
- Vc² = b² + (c / 2)²
- Toplandığında: Vb² + Vc² = 5 · (b² + c²) / 4 = 5a² / 4
- Va = a / 2 olduğundan: Vb² + Vc² = 5 · Va²
Bu son bağıntı, dik kenarlara ait kenarortaylar verildiğinde hipotenüsü ya da hipotenüse ait kenarortayı tek adımda bulmanızı sağlar.
Ağırlık Merkezi ve Dik Üçgen
Dik üçgende ağırlık merkezi G, hipotenüse ait kenarortay üzerinde ve AG = 2 · AD / 3 = BC / 3 olacak şekilde yer alır. Yani dik açılı köşenin ağırlık merkezine uzaklığı hipotenüsün üçte biridir. Bu pratik sonuç, ağırlık merkezli dik üçgen sorularında doğrudan kullanılabilir. Ayrıca ağırlık merkezinden hipotenüsün orta noktasına olan uzaklık GD = BC / 6 olur; bu değer de bazı sorularda doğrudan istenir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- Hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısı olduğunu
- Muhteşem üçlü özelliğini ve tersini
- Oluşan ikizkenar üçgenlerle açı hesaplamayı
- Vb² + Vc² = 5Va² bağıntısını
- Dik üçgende ağırlık merkezinin konumunu
Sıkça Sorulan Sorular
Muhteşem üçlü neden bu kadar önemli?
Dik üçgende hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıkta olduğu için şekilde birden çok ikizkenar üçgen oluşur. Bu da hem uzunluk hem açı sorularını kısa yoldan çözmeyi sağlar.
Bir kenarortay kenarın yarısına eşitse üçgen dik midir?
Evet. Kenarortayın uzunluğu ait olduğu kenarın yarısına eşitse, o kenarın karşısındaki açı 90 derecedir.
Vb² + Vc² = 5Va² bağıntısı her üçgende geçerli mi?
Hayır, yalnızca A açısı dik olan üçgende geçerlidir. Genel üçgende kenarortay uzunluğu formülü kullanılmalıdır.
Üçgende kenarortay serisinin sonraki bölümlerinde kenarortayların dik kesişmesi ve orta taban gibi konulara geçiliyor; serinin tüm parçalarını sırayla izlemenizi öneririz. Bu özelliklerin ispatları için Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'ne göz atabilirsiniz. Abone olarak yeni videolardan haberdar olun; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.