Bu videoda Neşat Hoca, üçgende açıortay konusunun ikinci bölümüyle devam ediyor. Açıklamada da vurgulandığı gibi, bu ders bol örnekli bir anlatıma sahip ve konunun en çok kullanılan teoremi olan iç açıortay teoremini adım adım oturtmayı amaçlıyor. İlk bölümde açıortayın tanımı ve iç teğet çemberin merkezi öğrenilmişti; bu bölümde ise açıortayın karşı kenarı hangi oranda böldüğü üzerinde duruluyor. TYT ve AYT geometriye hazırlanan tüm öğrenciler için temel bir ders.
İç Açıortay Teoremi
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında kessin. İç açıortay teoremi şunu söyler:
- BD / DC = AB / AC
- Kısaca: m / n = c / b (m = BD, n = DC, c = AB, b = AC)
Yani iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. Uzun kenara komşu olan parça daha uzun, kısa kenara komşu olan parça daha kısadır. Bu oran bilindiğinde, BC kenarının uzunluğu verilen sorularda BD ve DC parçaları doğrudan hesaplanır: BD = a · c / (b + c) ve DC = a · b / (b + c).
Teoremin Alan ile İspatı
İç açıortay teoreminin en anlaşılır ispatı alan yoluyla yapılır. D noktası açıortay üzerinde olduğu için AB ve AC kenarlarına uzaklıkları eşittir; bu uzaklığa h diyelim. Böylece:
- Alan(ABD) / Alan(ADC) = (AB · h / 2) / (AC · h / 2) = AB / AC
- Öte yandan iki üçgenin A'dan BC'ye inen yüksekliği ortak olduğundan Alan(ABD) / Alan(ADC) = BD / DC
İki eşitlik birleştirildiğinde BD / DC = AB / AC sonucu çıkar. Bu ispat aynı zamanda önemli bir sonuç verir: açıortayın ayırdığı iki üçgenin alanları oranı da komşu kenarların oranına eşittir.
Teoremi Kullanırken Dikkat Edilecekler
Öğrencilerin en sık yaptığı hata, oranları yanlış eşleştirmektir. BD parçası B köşesine, dolayısıyla AB kenarına komşudur; bu yüzden BD, AB ile eşleşir. Şekil üzerinde her parçayı komşu olduğu kenarla aynı renkte işaretlemek bu hatayı önler. Neşat Hoca'nın çok örnekli anlatımı da tam olarak bu eşleştirme alışkanlığını kazandırmaya yöneliktir.
Bu Derste Neler Öğreneceksiniz?
- İç açıortay teoremini ve doğru oran eşleştirmesini
- Teoremin alan yöntemiyle ispatını
- BD ve DC parçalarını kenar uzunlukları cinsinden bulmayı
- Açıortayın ayırdığı üçgenlerin alan oranını
- Teoremi farklı soru tiplerinde uygulamayı
Sıkça Sorulan Sorular
İç açıortay teoremi her üçgende geçerli mi?
Evet. BD / DC = AB / AC oranı, üçgenin türünden bağımsız olarak her iç açıortay için geçerlidir.
Açıortay karşı kenarı ne zaman ortadan böler?
AB = AC olduğunda, yani üçgen ikizkenar olduğunda oran 1 olur ve açıortay karşı kenarı tam ortadan böler. Bu durumda açıortay aynı zamanda kenarortaydır.
Bu teorem hangi konularda kullanılır?
Benzerlik, alan, çember ve analitik geometri sorularında iç açıortay teoremi sıkça yardımcı araç olarak kullanılır.
Üçgende açıortay serisinin 3. bölümünde dış açıortay teoremine geçiliyor; serinin diğer parçalarını da sırayla izleyin. Teoremin farklı ispat yollarını Neşat Hoca'nın Geometri İspatları Serisi'nde bulabilirsiniz. Kanala abone olun; özel ders için iletişim sayfasından ulaşabilirsiniz.